方差的补充公式

方差的定义是一个随机变量 $X$ 的离散程度的度量，公式为：

$$ \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] $$

其中，$E[X]$ 是随机变量 $X$ 的期望值。

具体计算步骤和推导

1. 方差的定义：

$$ \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] $$

2. 展开平方项：

$$ E[(X - E[X])^2] = E[X^2 - 2X \cdot E[X] + (E[X])^2] $$

3. 利用期望的线性性质，将期望运算分开：

$$ E[X^2 - 2X \cdot E[X] + (E[X])^2] = E[X^2] - 2E[X \cdot E[X]] + E[(E[X])^2] $$

4. 简化项：
   • $E[X \cdot E[X]] = E[X] \cdot E[X]$ 因为 $E[X]$ 是常数，可以提到期望运算符之外。
   • $E[(E[X])^2] = (E[X])^2$，因为 $E[X]$ 是常数，它的平方的期望仍然是它的平方。

因此：

$$ E[X^2 - 2X \cdot E[X] + (E[X])^2] = E[X^2] - 2E[X] \cdot E[X] + (E[X])^2 $$

5. 合并项：

$$ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $$

这就是方差的计算公式。