The microscopic expression of pressure
1. 引言
我们将推导气体压强的微观表达式，通过分子动理论来解释单个分子如何产生宏观压强，并引出玻尔兹曼常数 $ k_B $的意义和作用。
2. 压强的微观定义
压强$ P $是气体分子对单位面积容器壁施加的平均力： $$ P = \frac{F}{A} $$ 其中 $F$ 是分子施加在容器壁上的总力， $A$ 是容器壁的面积。
3. 单个分子对容器壁的冲量
假设气体分子的质量为 $ m $，速度为 $ v $。一个分子沿着 $ x $ 方向撞击容器壁，并发生弹性碰撞，速度变为 $ -v_x $。碰撞前后的速度变化为： $$ \Delta v_x = v_x - (-v_x) = 2v_x $$ 力的变化等于动量的变化率，根据冲量定理： $$ \Delta p_x = 2mv_x $$
4. 单个分子对容器壁的力
考虑在时间 $ t $ 内，一个分子撞击容器壁的次数。若容器的长度为 $ L $，那么一个分子从一壁到另一壁并返回所需时间为： $$ \Delta t = \frac{2L}{v_x} $$ 在时间 $ t $ 内，撞击次数为： $$ n = \frac{t}{\Delta t} = \frac{t v_x}{2L} $$ 每次碰撞产生的力为： $$ F_x = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2L}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{L} $$
5. 总力和压强
对于 $ N $ 个分子，由于分子运动是随机的，均匀分布在三个方向（$ x $、$ y $、$ z $）。在立方体容器中，三维运动的平均速度平方 $ \langle v^2 \rangle $ 在每个方向的分量为： $$ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{\langle v^2 \rangle}{3} $$ 总力为： $$ F = N \cdot \frac{mv_x^2}{L} = N \cdot \frac{m \cdot \frac{\langle v^2 \rangle}{3}}{L} = \frac{N m \langle v^2 \rangle}{3L} $$ 压强 $ P $ 为： $$ P = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2} = \frac{N m \langle v^2 \rangle}{3L^3} $$
6. 体积与温度的关系
由于 $ L^3 = V $（容器的体积），压强变为： $$ P = \frac{N m \langle v^2 \rangle}{3V} $$ 进一步，用理想气体状态方程 $ PV = Nk_B T $（其中 $ k_B $ 是玻尔兹曼常数， $ T $ 是温度），我们可以联系温度和分子的平均动能： $$ \frac{N m \langle v^2 \rangle}{3V} = \frac{Nk_B T}{V} $$ $$ \frac{m \langle v^2 \rangle}{3} = k_B T $$ 由此，我们得出分子的平均动能与温度的关系： $$ \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$ 这是分子动理论的基本结果，表示了气体分子的平均动能和温度之间的关系。
玻尔兹曼常数 $ k_B $ 的解释
1. 玻尔兹曼常数的定义
玻尔兹曼常数 $ k_B $ 是一个基本物理常数，连接了微观的分子运动与宏观的热力学性质。其值约为： $$ k_B \approx 1.380649 \times 10^{-23} , \text{J/K} $$
2. 玻尔兹曼常数的作用
- 微观与宏观的桥梁：玻尔兹曼常数将单个分子或原子的能量尺度与宏观的温度尺度联系起来。
- 理想气体状态方程：在理想气体状态方程中，玻尔兹曼常数用于描述气体分子平均动能和温度的关系： $$ PV = Nk_B T $$
- 气体分子的平均动能：单个气体分子的平均动能与温度的关系为： $$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$
- 熵的统计定义：玻尔兹曼常数也出现在熵的统计定义中： $$ S = k_B \ln \Omega $$
3. 理想气体常数 $ R $ 与玻尔兹曼常数的关系
理想气体常数 $ R $ 与玻尔兹曼常数 $ k_B $ 通过阿伏伽德罗常数 $ N_A $ 连接： $$ R = N_A k_B $$ 其中 $ N_A $ 是阿伏伽德罗常数，约为： $$ N_A \approx 6.022 \times 10^{23} , \text{mol}^{-1} $$
通过分子动理论，我们推导了气体压强的微观表达式，并解释了玻尔兹曼常数在这一过程中扮演的重要角色。玻尔兹曼常数 $ k_B $ 是将微观粒子的运动行为与宏观热力学性质（如温度和压强）联系起来的桥梁，是统计力学和热力学中不可或缺的常数。